「母親っぷりが板についてきた」などと、態度や物腰等がよく似合ってぴったりな様子を「板につく」と表現しますが、どうして「板」に「つく」と表現するのでしょう？

「板につく」の「板」は板張りの舞台のことなのです。
舞台で芝居する役者は、経験を積んで芝居の雰囲気になじみ、舞台としっくり調和するようになってきます。足が板についてしっかりした演技ができるようになるということから、現在のような意味になったそうです。