「森」も「林」もどちらも木が多く茂っている場所という意味ですが、これはどう区別されているのでしょうか？

実は両者は、木の数と密集度で使い分けるようです。

まず「林」は、広い平地に、茂った樹木が並び立っている状態のこと。
しかも「同じ種類の木が群生している場所」を指すそうです。

それに対して「森」は、「樹木がうっそうと茂って、日が差し込まず薄暗い場所」を指すそうです。それに「林」より「森」の方が「木の本数」も多いのです。漢字の構成を見ても「木」の数が一つ多い分、森の方が木の数が多いですね。