「協力をすることはやぶさかではない」のように使われる「やぶさかではない」という表現ですが、これはどういう意味でしょうか。

「やぶさかではない」は、「喜んで～する」「ためらいなく～する」という意味です。

もともとケチなどを意味する「やふさし」という言葉があり、これが変化して「やぶさか」という言葉になったようです。

これが「物惜しみする、躊躇（ちゅうちょ）する」という意味なので、これに否定の「ない」がつくことで上記のような意味になるそうです。

しかし、現在は「仕方なくする」という意味だと思っている人が増えているようです。

この理由としては、否定形がついているのに積極的な感情を示すことが不自然なこと、一般的に「消極的ではないが、少しためらいがある」というときに使われる傾向にあることから、「仕方なくする」だと思う人が増えているのではないかと考えられているそうです。