「その問題には、さじを投げた」などと、諦めたり、前途の見込みがないと断念することを「さじを投げる」と表現しますが、どうして「さじ」を「投げる」のでしょう？

「さじを投げる」の「さじ」は、薬を調合する医療用の匙のことです。

医者（漢方医）が、薬をどう調合しても患者の治療方法が見つからず、匙を投げ出すことから、治る見込みはないと見切りをつけることを「さじを投げる」と言ったそうです。

江戸時代、大名の侍医は「おさじ」と呼ばれ、患者を生かすも殺すも、この侍医の「さじ加減」一つで決まったといいます。

昔は外科手術などが発達していなかったので、薬で治らなければまさしくお手上げ状態で、匙を投げちゃったのですね。

そこから、医者が治療を諦める以外でも、物事を断念する意味として「さじを投げる」が用いられるようになったようです。