「君は真面目だねえ」など、誉め言葉にも、少し人をからかうときにも使ったりする「真面目」（まじめ）ですが、まじな目っていったい何でしょう。

真面目は、漢字については当て字らしく、深い由来はないようです。

言葉としては、「まじ」プラス「め」に分解出来て、「まじ」については「瞬ぐ（まじろぐ）」から来ているようです。

「瞬」はまばたきという意味の漢字です。

人が何かを見つめているときは、まばたきだけをして他は動かさないですよね。
そこから「まじ」には「じっと見つめる」という意味が出てきたと考えられます。

人が何かを見つめるということはそれだけ真剣ですから、「まじ」（見つめる）な「目」は、真剣や誠実さを表すようになって、現在の意味になったようです。

ちなみに「見つめる」ときに「まじまじと」という言葉を付けたりしますが、この「まじ」も由来は同じという説が有力だそうです。