何かを「教えてください」と言いたいときに、書き言葉で丁寧にする際は「ご教示ください」あるいは「ご教授ください」を使うことがありますが、どう使い分ければいいのでしょうか。

この二つを比較すると、一般的によく使うのは「ご教示ください」になるそうです。

これは「教えてください」を丁寧にした言葉と言えるようです。

確認やその場で聞けばことが終わるような場合、あるいは非学問的なことがらを聞くときに使うようなので、ビジネスシーンなどではほぼこちらを使うことになると思われます。

一方、「ご教授ください」は、専門的な事柄をある程度体系づけて教えてもらう場合に使うと良いそうです。

簡単に言えば、Q&Aのような内容や日常的なことがらなら「ご教示」、教科書や専門書など本になるような内容を教えてもらうなら「ご教授」と考えれば良いかも知れません。